دانلود با لینک مستقیم و پر سرعت .
حل عددی معادلات دیفرانسیل
فهرست
مقدمه – معرفی معادلات دیفرانسیل 4
بخش اول – حل عددی معادلات دیفرانسیل معمولی 20
فصل اول – معادلات دیفرانسیل معمولی تحت شرط اولیه 20
فصل دوم – معادلات دیفرانسیل معمولی تحت شرایط مرزی 66
فصل سوم – معادلات دیفرانسیل خطی 111
بخش دوم – حل عددی معادلات دیفرانسیل جزئی 125
فصل اول – حل معادلات عددی هذلولوی 128
فصل دوم – حل معادلات عددی سهموی 146
فصل سوم – حل معادلات عددی بیضوی 164
فصل چهارم – منحنی های مشخصه 184
مقدمه
معرفی معادلات دیفرانسیل
معادله در ریاضیات وقتی با اسم خاص و صورت خاص می آید خود به تنهایی مسأله ای را نمایش می دهد که در آن می خواهیم مجهولی را بدست آوریم.
کاربرد معادله دیفرانسیل از نظر تاریخی با معرفی مفهوم های مشتق و انتگرال آغاز گردید. ساده ترین نوع معادله دیفرانسیل آن دسته از معادلاتی هستند که مشتق تابع جواب را داشته باشیم. که چنین محاسبه ای به پاد مشق گیری و انتگرال گیری نامعین موسوم است.
معادلات دیفرانسیل وابستگی بین توابع و مشتق های توابع را نشان می دهد. که از لحاظ تاریخی به طور طبیعی از زمان کشف مشتق به وسیله نیوتن ولایب نیتس آغاز می شود. (قرن هفدهم میلادی). که با رشد سریع علم و صنعت در قرن بیستم روشهای عددی حل معادلات دیفرانسیل مورد توجه قرار گرفتند که توسعه و پیشرفت کامپیوتر ها در پایان قرن بیستم موجب کاربرد روش های تقریبی تعیین جواب معادلات دیفرانسیل در بسیاری از زمینه های کاربردی گردید که باعث بوجود آمدن مباحث جدید در این زمینه شد.
نمادها و مفاهیم اساسی
اگر تابعی از متغیر حقیقی باشد و ضابطه آن و متغیر تابع یا مقدار تابع باشد، آنگاه مشتق با یکی از نمادهای نمایش داده می شود. همچنین مشتق دوم، سوم،... و ام آن نیز به ترتیب با نمادهای
نمایش داده می شوند. اگر تابعی از دو متغیر حقیقی باشد آنگاه مشتق های جزئی با نمادهای نمایش داده می شوند. همچنین اگر آنگاه مشتق های جزئی با نمادهای و یا
نمایش داده می شوند.
همچنین داریم:
که این توابع مشتقات جزئی مرتبه دوم و مراتب بالاتر است.
همچنین برای توابع متغیر حقیقی داریم:
که فرض می کنیم همه مشتقات جزئی تا مرتبه مورد نظر پیوسته باشند.
حال برای تابع از متغیر حقیقی با مقدار حقیقی را دیفرانسیل تابع گویند. اگر تابع از متغیر حقیقی باشد.
را دیفرانسیل کامل تابع گویند. که در حالت خاص اگر از دو متغیر حقیقی با مقدار حقیقی باشد داریم:
معادلات دیفرانسیل معمولی و با مشتقات جزئی
یک معادله دیفرانسیل هر کدام از توابع ضمنی از متغیر یا متغیرهای مستقل، متغیر یا متغیرهای تابع و مشتق های متغیر یا متغیر های تابع نسبت به متغیر یا متغیرهای مستقل می تواند باشد که حتماً باید لا اقل یک مشتق ساده یا جزئی در آن حضور داشته باشد.
معادله دیفرانسیل یک نوع از معادلات دیفرانسیل است که فقط یک متغیر مستقل در آن وجود دارد. و متغیر تابع و
مشتقات مرتبه اول تا ام نسبت به است. متغیر می توانند در معادلات دیفرانسیل نباشند ولی حضور لااقل یک مشتق الزامی است. معادله دیفرانسیل
یک نوع معادله است که شامل متغیر مستقل است و فقط یک متغیر تابع دارد که در آن تابعی از ها است.
برای دسته بندی معادلات دیفرانسیل می گوییم هرگاه همه مشتق های ظاهر شده در معادله مشتق ساده باشند آنگاه معادله را معادله دیفرانسیل معمولی (یا ساده یا عادی) می نامیم. اما اگر در عبارت معادله لااقل یک مشتق جزئی ظاهر شود آن را یک معادله دیفرانسیل با مشتقات جزئی یا معادله دیفرانسیل نسبی می نامیم.
معادلات دیفرانسیل زیر از جمله معادلات دیفرانسیل مهم هستند:
(معادله خطی غیر همگن)؛
(معادله بزنولی)
(معادله ریکاتی)
(معادله لا پلاس)
(معادله کلرو) غیر خطی؛
(معادله لاگرانژ) غیر خطی؛
(معادله یک بعدی حرارتی) ثابت؛
(معادله اولر) ثابت؛
(معادله لژ اندر) ثابت؛
(معادله بسل) ثابت نا منفی؛
(معادله پواسن)
(معادله یک بعدی موج) ثابت؛
(معادله ترافیک)
(معادله لاگرانژ)
(معادله پفافی)
(معادله ارتعاش تیر) ثابت
از معادلات دیفرانسیل فوق معادلات (3)(4)(5)(7)(8)(10)(11)(12) معادلات دیفرانسیل معمولی و بقیه معادلات دیفرانسیل نسبی می باشند.
اگر بخواهیم یک معادله را به صورت دیفرانسیلی بنویسیم می توانیم به جای عبارت را جایگزین کنیم. مثلاً برای معادله به صورت
است.
یک روش دیگر برای دسته بندی معادلات دیفرانسیل استفاده از مرتبة آنها است که مرتبة یک معادله دیفرانسیل عبارت است از بزرگترین مرتبه مشتق یا مشتقات ظاهر شده در عبارت معادله دیفرانسیل. با توجه به معادلات فوق می بینیم که معادلات (3) و(4)و(5)و(7)و(8)و(15)و(16)و(17) معادلات مرتبه اول و معادلات (6)و(9)و(10)و(11) و(12)و(13)و(14) معادلات مرتبه دوم و معادله دیفرانسیل (18) یک معادله مرتبه چهارم است.
وقتی معادلات دیفرانسیل هر کدام دارای بیش از یک متغیر تابع باشند در این صورت معادلات به تنهایی ظاهر نمی شوند و مجموعه ای از آنها مورد استفاده قرار می گیرد که اغلب تعدادشان با تعداد متغیرهای تابع برابر است. این گونه معادلات را دستگاه معادلات دیفرانسیل می نامیم.
یک روش دیگر برای دسته بندی معادلات دیفرانسیل استفاده از مفهوم خطی بودن یا غیر خطی بودن معادلات دیفرانسیل است.
یک معادله دیفرانسیل معمولی یا با مشتقات جزئی داده شده را یک معادله دیفرانسیل خطی در مجموعه متغیرهای تابعی اش گوئیم هر گاه:
1) متغیر یا متغیرهای تابع از توان یک باشند.
2) متغیر تابع یا متغیرهای تابع و مشتقات، ضریب متغیرهای تابعی و مشتقات آنها نباشند.
3) خود متغیر تابعی غیر خطی نباشد.
در غیر این صورت اگر هر کدام از شرطهای بالا نقص شود معادله دیفرانسیل غیر خطی است از معادلات مهم که ارائه کردیم معادلات (3)و(6)و(9)و(10) و(11) و(12) و(13) و (14) و (18) خطی هستند و معادله (4) (به دلیل حضور ) و (5) (به دلیل حضور )، (7) (به دلیل غیر خطی بودن ) و (8) (برای لا اقل غیر خطی بودن )
غیر خطی هستند. معادلات (16) و (17) می توانند خطی یا غیر خطی باشند.
همچنین می توان خطی بودن را نسبت به یک عامل از معادله دیفرانسیل، مانند متغیر تابع یا متغیرهای تابع، یا مشتق از مرتبه مشخصی تعیین نمود. این گونه معادلات نیمه خطی یا شبه خطی نامیده می شوند. مثلاً معادله
که یک معادله غیر خطی نسبت به متغیر تابع به دلیل حضور و همچنین به علت حضور است را می توان یک معادله خطی نسبت به مشتقات جزئی نامید. یک معادله دیفرانسیل مرتبه اول خطی معمولی به صورت کلی
و معادله مرتبه دوم خطی معمولی نیز به صورت کلی
نمایش داده می شوند. صورت کلی معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی مرتبه ام خطی طولانی و پیچیده است. که در اینجا معادلات مرتبه اول و دوم خطی از آنها را نمایش می دهیم. ولی می توان با کمک از معادلات دیفرانسیل مراتب اول و دوم معادلات مراتب بالاتر را نیز نوشت.
معادله زیر یک صورت عمومی از معادلات با مشتقات جزئی مرتبه اول خطی از متغیر مستقل با یک متغیر تابع است.
که در آن توابع ضریب و تابع طرف دوم است که اگر ، صفر باشد معادله همگن خطی و در غیر این صورت معادله غیر همگن خطی نامیده می شود. معادلات با مشتقات جزئی مرتبه دوم به صورت کلی زیر است:
که در آن
توابع متغیر حقیقی معلوم هستند که به آنها توابع ضریب معادله خطی گویند. تابع متغییر حقیقی معلوم تابع طرف دوم نامیده می شود.
جواب یک معادله دیفرانسیل
یک تابع یا مجموعه ای از توابع (مانند یک تایی مرتب از توابع) را جواب یک معادله دیفرانسیل گوییم هرگاه با قرار دادن تابع یا توابع در عبارت معادله به جای متغیر یا متغیرهای تابع و مشتقات آنها معادله به یک اتحاد بر حسب متغیر یا متغیرهای نابسته تبدیل شود. که در صورت گذاشتن مقدار در آنها این اتحاد برقرار باشد.
جواب یک معادله دیفرانسیل معمولی تابعی از متغیر حقیقی با مقدار حقیقی یا با مقدار برداری است که اگر متغیر مختلط باشد مقدار نیز مختلط خواهد بود. جواب یک معادله دیفرانسیل با مشتقات جزئی تابعی از دو یا به طور کلی متغیر است که مقدار آن حقیقی یا برداری است.
به عنوان مثال تابع جوابی از معادله دیفرانسیل معمولی زیر است:
همچنین جوابی از معادله دیفرانسیل نسبی زیر است:
یک معادله دیفرانسیل می تواند دارای جوابهای گوناگونی باشد. که جوابی را که برای یک معادله دیفرانسیل معمولی در تعدادی شرایط در یک نقطه یا مجموعه ای از نقاط از دامنه تابع جواب صدق می کند و به صورت یگانه ای بدست می آید جواب ویژه یا خصوصی معادله دیفرانسیل است . البته ممکن است دو یا چند جواب در شرایط صدق کنند ولی یکی از آنها جواب خصوصی است .
برای یک معادله دیفرانسیل معمولی مرتبه n ام از یک متغیر تابع ، تابعی را که با n ثابت دلخواه نا بسته از یکدیگر بر حسب متغیر مستقل و متغیر تابع بیان و همه جوابهای خصوصی معادله با انتخاب هر مقدار مشخصی برای ثابتها از آن بدست می آیند جواب عمومی معادله گویند .
برای یک معادله دیفرانسیل معمومی مرتبه n ام ، جواب عمومی به صورت کلی زیر است :
اگر تابع ثابت صفر جوابی از یک معادله دیفرانسیل معمولی یا با مشتقات جزئی باشد آن را جواب بدیهی معادله می نامیم. مثلاً معادله دارای جواب بدیهی و معادله دارای جواب بدیهی است.
برای تعیین جواب معادلات دیفرانسیل معمولاً روشهایی را بکار می بریم که ممکن است حل یک معادله دیفرانسیل عبارت معادله را با اعمال جبری مجاز تغییر دهیم که با انجام این اعمال ممکن است جوابی از معادله را نادیده انگاشته باشیم که این جواب را جواب حذف شده معادله می نامند.
خانواده جواب های خصوصی در مورد برخی از معادلات مانند معادلات کلرو نیز معمولاً جواب معادله می باشند. که چنین جواب هایی را جواب تکین یا جواب غیر عادی معادله دیفرانسیل می نامند. مثلاً برای معادله
تابع جواب عمومی آن و تابع جواب غیر عادی آن است.
برای یک معادله دیفرانسیل جوابی از آن که همه جواب های معادله را در بر گیرد جواب کامل یا انتگرال کامل معادله می خوانند. که این مفهوم برای معادلات دیفرانسیل خطی غیر همگن به کار برده می شود.
البته هدف ما در این مجموعه حل عددی معادلات دیفرانسیل است و تنها روش های عددی حل معادلات را مورد بررسی قرار می دهیم.
تفسیر هندسی جواب خصوصی و عمومی
می دانیم اگر تابع دو متغیره پیوسته ای روی ناحیه ای از صفحه باشد آنگاه معادله ضمنی
یا دارای هیچ جوابی نیست مانند . یا یک جواب دارد مثل یا نمایش یک منحنی در صفحه است . جواب عمومی معادلات دیفرانسیل معمولی به شکل زیر هستند :
که این معادله نمایش یک منحنی در صفحه است. که این موضوع برای جوابهای عمومی به صورت
نیز قابل بیان است. این منحنی ها به پارامترهای ثابت دلخواه وابسته هستند و خانواده یک پارامتری از منحنی ها را در صفحه نمایش می دهند. به هر یک از اعضای این خانواده منحنی یک منحنی انتگرال یا منحنی جواب معادله می گویند.
همچنین یک جواب خصوصی معادله با منحنی ای مشخص می شود که از یک یا چند نقطه مشخص می گذرد .
جوابهای معادلات دیفرانسیل با بیش از یک متغیر تابع نیز معمولا یک منحنی در فضای و یا به طور کلی در را نمایش می دهند . به عنوان مثال معادله
که در آن نیروی مؤثر بر نقطه مادی توابعی از متغیر می باشند و منحنی های
مسیر متحرکی را نمایش می دهد که دارای شتاب لحظه ای است.
نمودار تابع جواب معادله فوق در فضای قرار دارد .
از نظر هندسی جوابهای معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی با توجه به وضعیت وابستگی متغیر تابع به لا اقل دو متغیر ، در حالت دو متغیره ، یک رویه در است .
شرایط اولیه و شرایط مرزی
تعیین جوابهای خصوصی در معادلات دیفرانسیل معمولی و معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی همیشه به کمک مجموعه ای از شرایط امکان پذیر است که بر روی جواب اعمال می شود یا در مسائل فیزیکی به عنوان اطلاع به ما داده میشوند که این گونه شرایط به طور کلی به دو دسته تقسیم می شوند:
الف ) شرایط اولیه
ب ) شرایط مرزی ( حدی یا کرانه ای )
شرایط اولیه برای یک معادله دیفرانسیل معمولی ، شرایطی بر روی جواب معادله اند که همه در یک نقطه از دامنه تابع جواب داده شده اند. این شرایط برای یک معادله دیفرانسیل معمولی مرتبه از یک متغیر تابع به صورت زیر داده می شوند :
که در آن نقطه ای از دامنه تابع جواب مقادیر ثابت داده شده اند. این شرایط برای یک معادله مرتبه اول فقط از شرط اول تشکیل شده است. که حاکی از مختصات نقطه ای از صفحه مانند
است که جواب خصوصی مورد نظر از آن می گذرد .
برای یک معادله دیفرانسیل مرتبه دوم فقط دو شرط اول مورد استفاده قرار می گیرد که حاوی اطلاعاتی در مورد منحنی جواب مورد نظر است که از نقطه می گذرد و در این نقطه دارای ضریب زاویه است.
در مورد معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی آن نسبت به آن متغیر مستقل داده می شوند. شرایط مرزی مجموعه شرایطی بر روی جواب معادله اند که معمولا تعداد آنها حد اقل دو می باشد. به طور کلی شرایطی را که به ازای مقادیری از متغیر مستقل یا متغیرهای مستقل داده می شوند شرایط مرزی می گویند.
برای یک معادله دیفرانسیل مرتبه دوم معمولی شکل عمومی شرایط مرزی به صورت زیر است:
که و دو نقطه از دامنه تابع جواب و ثابت های داده شده اند یک شکل ساده شرایط فوق به صورت زیر است :
شکل عمومی شرایط مرزی برای معادلات دیفرانسیل مرتبه ام از یک متغیر تابع معمولی به صورت زیر است:
که در آن
نقطه داده شده و متمایز از دامنه تابع جواب می باشند .
مثلا ً برای معادلات این شرایط به صورت
هستند.
بنابراین برای یک منحنی انتگرال که می خواهیم از دو نقطه داده شده
بگذرد شرایطی از نوع مرزی بکار می رود.
همچنین مسائل معادلات دیفرانسیل را به مسائل با شرایط مرزی و مسائل با شرایط اولیه مشخص می کنیم.
در این مجموعه ما به گرد آوری روشهای عددی حل معادلات دیفرانسیل می پردازیم و بیشتر با آنالیز عددی سر و کار داریم . که آنالیز عددی شامل مطالعه ، توسعه و تجزیه و تحلیل الگوریتم ها برای بدست آوردن جوابهای عددی مسایل مختلف ریاضی است ، که به آن محاسبات علمی می گویند .
« بخش اول»
«حل عددی معادلات دیفرانسیل معمولی»
فصل اول: معادلات دیفرانسیل معمولی تحت شرایط اولیه
مقدمه
معادلات دیفرانسیل مرتبه اول به صورت زیر نمایش داده می شوند :
که شاخه ای از آن را که به حل عددی آن می پردازیم می توانیم به صورت زیر از معادله بالا بدست آوریم :
که مسئله با شرایط اولیه آن به صورت زیر است :
حال ابتدا قضایای وجود و یگانگی جواب را در مورد این معادلات بررسی می کنیم و بعد به ارائه روشهای عددی مناسب برای حل آن می پردازیم .
1.1 در این قسمت در مورد اینکه برای یک معادله دیفرانسیل جوابی وجود دارد و اگر این جواب هست آیا یکتا است یا نه بحث خواهیم کرد .
مدل ما یک مساله مقدار اولیه به شکل زیر است :
هدف ما از حل این معادله یافتن مقدار مجهول است . و معادله
یک مقدار خاص از تابع ( f ) x را مشخص می سازد . و همانطور که می دانیم مشتق یک تابع شیب آن تابع را در نقطه مورد نظر ارائه می کند . همچنین داریم :
در مورد وجود جواب برای معادله دیفرانسیل قضیه ای را بیان می کنیم :
قضیه 1 : اگر در یک مستصیل به مرکز مثلاً
پیوسته باشد آنگاه مساله مقدار اولیه (1 ) یک جواب به ازای
خواهد داشت که در آن ماکسیمم در مستطیل می باشد.
اما حتی اگر پیوسته باشد ممکن است که مساله مقدار اولیه (1) دارای جواب منحصر به فرد نباشد .
قضیه 2 :اگر بر مستطیل تعریف شده پیوسته باشد آنگاه مساله مقدار اولیه (1 ) بربازه یک جواب منحصر به فرد دارد .
قضیه 3 از نوع دیگری است که به ما اجازه می دهد به وجود یکتایی یک جواب بر روی یک بازه از پیش تعیین شده پی می بریم .
قضیه 3 : اگر در نوار پیوسته باشد و در نا مساوی
صدق کند آنگاه مساله مقدار اولیه (1) یک جواب منحصر به فرد در دارد. که این نا مساوی یک شرط لیپشیتز در متغیر دوم است .
بسیاری از معادلات دیفرانسیل دارای جواب های شناخته شده به صورت توابع معمولی نیستند در نتیجه این گونه معادلات را نمی توان با روش مرسوم حل کرد. کاربرد سرهای تابعی به عنوان جواب این گونه معادلات، یکی از روشهای مهم در حل معادلات دیفرانسیل می باشد.
سری توانی زیر را سری تیلور می نامیم.
حال قضیه مهم تیلور را بیان می کنیم:
قضیه: اگر آنگاه برای هر دو نقطه در
که در آن
و نقطه ای بین است.
در واقع این قضیه شکل دیگری از سری تیلور را نشان می دهد.
حال به شرح روش سری تیلور می پردازیم.
1. 2 روش سری تیلور
شرح روش :
در روش سری تیلور باید فرض کنیم که مشتقات جزئی وجود دارند . در روش سری تیلور جواب را به طور مستقیم نمی یابیم بلکه مقادیری از جواب را با گامهای که را خیلی کوچک در نظر می گیریم بدست می آوریم. سری تیلور به صورت زیر است :
که اگر بخواهیم این سری را خیلی ادامه دهیم خسته کننده است همچنین برای تابعهای پیچیده بدست آوردن مشتقات مراتب بالاتر مشکل است بنابر این از مرتبه ای به بعد جملات را حذف می کنیم . که آنها بطور جمعی خطای برشی ما را تشکیل می دهند . همچنین مرتبه روش سری تیلور است اگر جملات تا و شامل آن مورد استفاده قرار گیرند .
که این خطای برشی را از فرمول زیر محاسبه می کنیم :
انباشته شدن همه این خطاهای برشی موضعی موجب به وجود آمدن خطای برشی کلی می شود . بنابراین اگر خطای برشی موضعی باشند آنگاه خطای برشی کلی باید باشد .
در اینجا به ارائه دو روش سری تیلور مرتبه اول و دوم و ام می پرادزیم.
روش سری تیلور برای معادلات دیفرانسیل مرتبه اول:
اگر قرار دهیم
اکنون عبارت زیر را داریم:
اگر قرار دهیم داریم همچنین فرض می کنیم که جواب است تقریباً برابر باشد. یعنی
یعنی
در مرحله بعدی به جای و به جای را قرار می دهیم داریم:
با تکرار معینی از روش داریم:
مثال: از روش تیلور مرتبة برای حل بر روی با
استفاده کنید، جوابها را برای مقایسه کنید:
حل: مشتقهای ابتدا باید تعیین شوند. به خاطر داریم که جواب تابعی از است و از فرمول
نسبت به مشتق می گیریم و را بدست می آوریم. سپس فرآیند را ادامه می دهیم و مشتقهای بالاتر را بدست می آوریم:
برای پیدا کردن مشتقهای ارائه شده در بالا را باید در نقطه
محاسبه کنیم:
بنابراین با توجه به فرمول سری تیلور و داریم:
نقطة جواب محاسبه شده عبارت است از
برای پیدا کردن مشتقهای را اکنون باید در نقطه
محاسبه کنیم:
بنابراین داریم:
نقطه جواب عبارت است از:
روش سری تیلور برای معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم و ام
مسأله مورد مطالعه همانطور که می دانیم در اینجا مسأله زیر است:
برای مسأله قرار می دهیم
همچنین فرض می کنیم تابع تقریب جواب باشد یعنی
در این روش می دانیم که بسط تیلور مرتبه دوم تابع به صورت زیر است:
از این روابط داریم:
که این روابط اخیر اساس روش سری تیلور در این مسأله است که مشابه با سری تیلور برای معادلات دیفرانسیل مرتبه اول به شکل زیر صورت می گیرد:
و بالاخره روش سری تیلور برای معادلات دیفرانسیل مرتبه ام به شکل زیر است:
روش اویلر
روش سری تیلور با روش اویلر نامیده می شود:
این روش دارای اهمیت نظری زیادی است زیرا قضایای وجود می توانند بر آن مبتنی باشند.
معادلات دیفرانسیل تأخیری
در این نوع معادلات مقدار به تابع در مقادیر قبلی بستگی دارد. برای مثال داریم:
که اگر مقدار را در بدانیم قادر به محاسبة هستیم و چون برای انتگرال گیری معادله دیفرانسیل با شروع در ، به مقدار با شروع در نیاز خواهیم داشت. بنابراین مقادیر بر روی بازة
به عنوان مقادیر اولیه برای ما فراهم باید باشند. مسائل با داشتن معادله دیفرانسیل ساده با این روش به آسانی قابل حل هستند ولی برای مسائل پیچیده تر باید از روش سری تیلور کمک بگیریم.
برای مثال مسئله زیر را در نظر بگیریم:
جواب ما که است بر روی بازه قرار دارد چون
است. که می توان با گامهایی به طول با استفاده از یک بسط تیلور استفاده کرد:
که داریم:
3.1 روشهای رونگه – کوتا
روشهای رونگه کوتا از طریق ترکیبات هوشمندانه مقادیر از روش سری تیلور پیروی می کنند. اما این روشها برخی تجزیه و تحلیلهای سری تیلور را ندارند.
روش رونگه – کوتای مرتبه دو
از سری تیلور داریم:
که از معادله دیفرانسیل داریم:
حال این مشتقات را در سری تیلور جایگزین می کنیم که داریم:
که به معنای و به معنای می باشد.
قضیه تیلور دو متغیره: اگر آنگاه برای هر دو نقطه در داریم:
معنی جملات مزبور در این قضیه به صورت زیر است:
وغیره.
هدف از بیان این قضیه این بود که ما قادریم مشتقات جزئی را در رابطه (1) با کمک چند جمله اول سری دو متغیره حذف کنیم:
معادله (1) به صورت زیر در می آید:
به طور کلی فرمولهای رونگه – کوتای مرتبه دوم که به روش هیدن نیز معروف است به شکل زیر است:
که در آن پارامترهایی هستند که در اختیار ما هستند که معادله (2) می تواند به کمک سری تیلور دو متغیره به شکل زیر نوشت:
با مقایسه روابط (1) و (2) داریم:
که اگر انتخاب کنیم که در شرایط هم صدق می کند روش متناظر با روش هیون است و اگر باشد روش تعدیل یافته اویلر را داریم:
که در آن:
روش رونگه – کوتای مرتبه 4
این روش به روش کلاسیک رونگه – کوتای مرتبه ها نیز معروف است و آن را در اینجا ارائه می دهیم:
که در آن:
این روش مرتبه 4 خوانده می شود چون جملات سری تیلور تا و خود را تولید می کند بنابراین خطای آن است. که این همان خطای برشی موضعی است.
در روش رونگه کوتای مرتبه 4 یک مقدار در اولین گام محاسبه می شود از طرف دیگر یک جواب دقیق وجود دارد که ما آن را نمی دانیم بنابراین در این گام خطای برشی موضعی بنا بر تعریف عبارت است از:
که این خطای برشی به ازای مقادیر کوچک مانند رفتار می کند که عددی مستقل از است اما وابسته به و تابع است. برای برآورد فرض می کنیم که هنگامی که از به تغییر می کند تغییر ننماید. فرض کنید مقدار تقریبی جواب در باشد که با گامی به طول از به دست آمده باشد. فرض کنید جواب تقریبی در
باشد که با دو گام به اندازه از بدست آمده باشد. اینها هر دو قابل محاسبه با فرضهای اختیار شده داریم:
با تفریق این دو معادله داریم:
بنابراین خطای برشی موضعی توسط تقریب زده می شود.
روش رونگه – کوتا – فلبرگ تطبیقی
روش رونگه – کوتا – فلبرگ تطبیقی حاصل از مرتبه 5 است و از دو فرمول دارای مرتبه های 4 و 5 استفاده می کند که این فرمولها مقادیر تقریبی مختلفی از جواب را ارائه می دهند و آنها را با
نشان می دهیم:
(3)
(4)
کمیت های : از فرمولهای از نوع:
محاسبه می شوند.
فرمول 3 از مرتبه پنج و فرمول 4 از مرتبه چهار است.
که البته فرمول (3) از (4) دقیقتر است و برای خروجی الگوریتم این روش از فرمول (3) استفاده می کنیم. همچنین تفاضل
تقریبی از خطای برشی موضعی است بنابراین می تواند برای کنترل اندازه گام در الگوریتم استفاده شود.
مقادیر ضرائب در جدول زیر داده شده اند:
مثال: از روش رونگه کوتا مرتبه 4 برای حل بر روی
با استفاده کنید.
حل:
بنا بر فرمول رونگه کوتا مرتبه 4 داریم:
4.1 روشهای چند گامی
در روشهای چند گامی بر خلاف روشهای سری تیلور و رونگه کوتا برای حل مسئله مقدار اولیه در هر گام از برخی مقادیر قبلی جواب استفاده می شود. مطلب مورد بحث در اینجا عبارت است از : می خواهیم مسئله مقدار اولیه
را به طور عددی حل کنیم. گامهای را بر روی محور تعیین کرده ایم. اگر جواب ما باشد از انتگرال گیری رابطه (1) داریم:
و سپس :
فرمول آدامز – بشفورث
انتگرال سمت راست در رابطه (2) می تواند توسط یک طرح انتگرال گیری عددی تقریب زده شود و می توانیم از نتیجه آن برای فرمول زیر استفاده کنیم:
اگر نقاط ها متساوی الفاصله باشند و داشته باشیم به ازای فرمول آدامز بشفورث مرتبه 5 به صورت زیر است:
برای اینکه بدانیم این ضرایب چگونه تعیین شده اند ابتدا روش ضرائب نامعین را که می خواهیم از آن استفاده کنیم توضیح می دهیم.
روش ضرایب نامعین
چند جمله ای از درجه حداکثر که را در گره های که متعلق به بازه هستند درونیابی می کند عبارت است از:
به طوری که داریم:
از رابطه (1) می توانیم بنویسیم:
حال از این روابط فرمول زیر بدست می آید که می توانیم برای هر تابع
استفاده کنیم:
که در آن
اگر گره ها متساوی الفاصله باشند فرمول اخیر فرمول نیوتن – کاستن نامیده می شود.
از همین روش می توانیم استفاده کنیم و پی ببریم که این فرمول برای همه چند جمله ایهای از درجه کوچکتر یا مساوی درست است. این موضوع را از آنجا می دانیم که این فرمول باید هر را به طور درست انتگرال گیری کند از این رو:
یک چند جمله ای از درجه حداکثر است و
حال فرمول دیگری را با استفاده از این روش برای فرمول نیوتن – کاتش بدست می آوریم.
فرمولی به شکل زیر در نظر می گیریم و جستجو می کنیم که برای همه چند جمله ایهای از درجه کوچکتر یا مساوی 2 دقیق باشد.
با استفاده از چند جمله ایهای به عنوان توابع آزمایشی بدست می آوریم.
جواب این دستگاه معادلات عبارت است از
چون فرمولی خطی است مقادیر دقیق انتگرالها را برای هر چند جمله ای درجه 2، تولید خواهد کرد. پس فرمولی به شرح زیر خواهیم داشت:
حال از آنچه گفته شد استفاده می کنیم و ضرایب را در فرمول آدامز بشفورث محاسبه می نماییم و ابتدا با قضیه تقریب زدن انتگرال رابطه (2) به صورت زیر شروع می کنیم.
ضرائب توسط این شرط که هر گاه انتگرالده یک چند جمله ای از درجه کوچکتر یا مساوی 4 باشد، معادله (3) دقیق باشد، تعیین می شوند. حال بدون اینکه از کلیت مسئله کاسته شود فرض می کنیم
پنج چند جمله ای زیر را به عنوان یک پایه برای اختیار می کنیم:
وقتی که اینها در معادله قرار داده شوند
ما پنج معادله برای تعیین ضرایب به دست می آوریم. این دستگاه معادلات عبارتند از:
بنابراین ضرایبی را که در فرمول آدامز – بشفورث بدست آوردیم با جایگزاری پسر و از این دستگاه بدست می آیند.
فرمول آدامز – مولتن
برای بهتر کردن دقت از فرمولهای دیگر غیر از آدامز بشفورث نیز استفاده می شود. برای این منظور به رابطه (2) برمی گردیم و فرض می کنیم از یک انتگرال گیری عددی که شامل باشد استفاده می کنیم رابطه فرمول آدامز بشفورث شکل زیر را دارا خواهد بود:
فرمول زیر که فرمولی از این نوع می باشد، به فرمول آدامز – مولتن مرتبه 5 معروف است.
که این فرمول نیز می تواند با استفاده از روش ضرایب نامعین به دست آید. اما چون در هر دو طرف رابطه ظاهر شده است نمی توان مستقیماً از این فرمول برای بدست آوردن جواب استفاده کرد.
اما یک الگوریتم بسیار رضایتبخش به نام روش پیشگوی اصلاحگر از فرمول آدامز بشفورث برای پیشگیری یک مقدار آزمایشی برای مثلاً استفاده می کند و سپس فرمول آدامز – مولتن برای محاسبه یک مقدار اصلاح شده از استفاده می کند بنابراین در فرمول آدامز مولتن مقدار را به صورت با استفاده از مقدار پیشگویی شده به دست آمده از فرمول آدامز بشفورث، محاسبه می کنیم.
در استفاده از این روش پیشگو – اصلاحگر باید یک رویة خاص برای شروع به کار گرفته شود، معمولاً فرمولها با مرتبه یکسان با هم مورد استفاده قرار می گیرند. بنابراین روشهای رونگه – کوتای مرتبة پنج می توانند در ترکیب با فرمول آدامز – بشفورث و فرمول آدامز – مولتن استفاده شوند.
روش دیگری هم برای بدست آوردن مقدار در فرمول آدامز مولتن وجود دارد. به طور کلی فرمول آدامز – مولتن بیان می کند که یک نقطه ثابت یک نگاشت خاص است یعنی نگاشتی که به صورت:
تعریف می شود که در آن ترکیبی از همه جملات دیگر فرمول آدامز مولتن است.
الگوریتمی که توسط معادله به شکل تعریف شود تکرار تابعی نامیده می شود. بنابراین روش تکرار تابعی خودش را به عنوان طریقه ای برای محاسبة پیشنهاد می کند. بنابراین معادله
تحت فرضهای مناسب به یک نقطه ثابت همگرا خواهد بود.
برای توضیح این مطلب می دانیم اگر بر روی یک بازه باز دارای مشتق پیوسته باشد و فرض کنیم که در این بازة باز یک نقطه ثابت داشته باشد و اگر ، آنگاه دنباله تعریف شده توسط تکرار تابعی به
همگرا خواهد بود اگر نقطه شروع به اندازه کافی به نزدیک باشد.
بنابراین اگر نقطه ثابت باشد. آنگاه باید تکرار را با یک نقطه در یک بازه به مرکز شروع کنیم که در آن
لازم است فرض کنیم پیوسته باشد. در حالت مورد نظر
با کوچک کردن اندازه گام ، این مقدار می تواند به اندازة دلخواه کوچک شود. در عمل فقط یک یا دو گام در این تکرار لازم است تا مقدار
به دست آید.
در این مرحله به تجزیه و تحلیل روشهای چند گامی خطی به طور کلی می پردازیم. شکل ظاهری هر چنین روشی به صورت زیر می باشد.
این روش، روش گامی نامیده می شود. ضرایب مفروضند و یک تقریب برای جواب در می باشد. این فرمول برای محاسبه استفاده می شود با فرض اینکه از قبل معلوم هستند. اگر ضریب باشد و روش را روش صریح گوییم چون به طور مستقیم با یک روش مقدماتی از فرمول بدست می آید. اگر آنگاه در سمت راست جمله شامل مجهول است و روش را روش ضمنی گوییم زیرا را به طور ضمنی تعیین می کنیم.
مرتبه هر روش نشان می دهد که چند جمله در یک روش سری تیلور باید توسط روش شبیه سازی شود برای مثال روش آدامز بشفورث از مرتبه 5 است.
در ارتباط با روش چند گامی یک نابع خطی به صورت زیر تعریف می کنیم.
از این تابع برای راحتی نمادگذاری فرض می کنیم و فرض می کنیم که اولین مقدار فرمول روش چند گامی در به جای شروع شود. حال فرض می کنیم با سری تیلورش در نمایش داده شود. با استفاده از سری تیلور میتوان را به صورت زیر بیان کرد:
برای محاسبه ضرایب ، سری تیلور را برای می نویسیم:
حال این سریها را در تابع جایگذاری می کنیم و بر حسب توانهای مرتب می کنیم، مقادیر به صورت زیر هستند:
قضیه: سه خاصیت زیر در روشهای چند گامی معادل هستند:
1)
2) به ازای هر چند جمله ای از درجه کوچکتر یا مساوی .
3) به ازای همة است.
اثبات: اگر (1) درست باشد رابطه (6) دارای شکل
است. اگر یک چند جمله ای از درجه کوچکتر یا مساوی باشد آنگاه
به ازای همة ، و بنابراین از معادله (8) داریم بنابراین
را ایجاب می کند.
فرض کنید (2) درست باشد اگر آنگاه بنابر قضیه تیلور می توانیم بنویسیم که در آن یک چند جمله ای از درجه کوچکتر یا مساوی بوده و یک تابع است که مشتق اول آن در صفر، صفر می شوند چون معادله (6) نتیجه می دهد:
و (2) و (3) را نتیجه می دهد.
بالاخره، فرض کنید که (3) درست باشد پس در رابطه (6) باید شرط
برقرار باشد از این رو (3) و (1) را ایجاب می کند. بنابراین می توانیم بگوییم مرتبه روش چند گامی عدد طبیعی منحصر به فرد است به طوریکه
مثال: مرتبه روش بیان شده توسط معادلة زیر چند است؟
حل: بردار برابر ، و بردار برابر می باشند بنابراین ها عبارتند از:
بنابراین مرتبه روش 4 می باشد.
همچنین دالکوئیست ثابت کرده است که یک روش گامی پایدار نظیر آنچه که مورد بحث قرار دادیم نمی تواند مرتبه ای بزرگتر از داشته باشد.
حال در این قسمت در مورد روشهای صریح و همگرا و ضمنی که در روشهای چند گامی به صورت زیر مورد استفاده قرار می گیرد مطالبی را بیان کنیم.
می دانیم که فرمول 1 یک برای روش چند گامی است و فرمول (2) یک فرمول آدامز – مولتن مرتبه 5 می باشد.
در حل یک مسئله دیفرانسیل با مقدار اولیه با استفاده از فرمول (1) فرض می کنیم که مقادیر اولیه توسط روش دیگری به دست آمده باشند سپس رابطه (1) با به طور متوالی استفاده می شود. حال اگر در معادله (1) ضریب باشد آنگاه مجهول در هر دو طرف معادله ظاهر می شود که در این حالت روش ضمنی است و اگر
باشد روش صریح نامیده می شود. حال برای تحلیل این موضوع فرض می کنیم در معادله (1) صدق کند. بنابراین می تواند با شروع از یک مقدار آزمایشی ارائه شد با تکرار توسط یک فرمول پیشگو به دست آید.
متناظر با معادله (1) دو چند جمله ای زیر وجود دارد:
با توجه به این دو چند جمله ای می توان به این نکته پی برد که برخی خواص مورد نظر از روش چند گامی به محل ریشه های چند جمله ای
بستگی دارند.
اگر جوابهای عددی با استفاده از اندازة گامهای متفاوت محاسبه شوند جواب تقریبی که از گام به دست می آید با نمایش می دهیم. و می دانیم که جواب واقعی هم است حال روش چند گامی همگرا است اگر:
همچنین داشته باشیم:
در چند جمله ای اگر ریشه های در قرص باشند و اگر هر ریشه با قدر مطلق 1 ساده باشد روش پایدار است و اگر روش سازگار است.
قضیه:روش چند گامی رابطه (1) همگرا است اگر شرط لازم و کافی را برای پایداری و سازگاری داشته باشد.
برای مثال روش میلن را که توسط رابطه زیر تعریف می شود تجزیه و تحلیل می کنیم:
این روش یک روش ضمنی است و چند جمله ای های در این روش به صورت زیر هستند:
صفرهای هستند. که ریشه های ساده هستند همچنین
بنابراین شرایط پایداری و سازگاری برقرار است و روش میلن همگرا است.
حال به اثبات قضیه می پردازیم:
ابتدا برای اثبات اینکه پایداری یک شرط لازم است فرض می کنیم روش پایدار نباشد بنابراین یک صفر که در صدق می کند دارد یا
یک صفر صادق در دارد و ، در هر دو حالت مسئله مقدار اولیه ساده را که جوابش است در نظر می گیریم.
روش چند گامی توسط معادله زیر بیان می شود:
این یک معادله تفاضلی خطی است که یکی از جوابهایش است که در آن یکی از صفرهای است اگر آنگاه به ازای داریم.
این رابطه شرط دوم در همگرایی را برقرار می کند اما شرط اول را نقض می کند زیرا اگر آنگاه
از طرف دیگر اگر آنگاه یک جواب معادله برابر
است که شرط دوم همگرایی برآورده می شود زیرا اگر
آنگاه
ولی شرط اول همگرایی نقض می شود زیرا
برای اینکه اثبات کنیم سازگاری شرط لازم است فرض می کنیم روش تعریف شده توسط معادله (1) همگرا باشد مسئله زیر را در نظر بگیرید
جواب ما در این مسئله است. در اینجا معادله (1) شکل را دارد. یک جواب با قرار دادن و سپس استفاده از برای تولید بقیه مقادیر به دست می آید. چون روش همگرا است بنابراین داریم با قرار دادن این رابطه در معادله نتیجه
حاصل می گردد یا به عبارت دیگر .
حال مسئله مقدار اولیه زیر را در نظر بگیرید.
که جواب واقعی آن می باشد معادله به صورت زیر در می آید:
چون روش همگرا است بنابر اثبات قبل پایدار است از این رو
یک جواب معادله توسط رابطه ، با ارائه می شود. در حقیقت با جایگذاری این رابطه در سمت چپ رابطه نتیجه می شود:
توجه داریم که مقادیر اولیه در این جواب عددی با مقدار اولیه
سازگار هستند زیرا به ازای . اکنون شرط اینکه باید همگرا باشد ایجاب می کند که:
بنابراین: . بنابراین نتیجه می گیریم که
چون .
خطای برشی موضعی و کلی
فرض کنیم معادله ای که برای محاسبه استفاده می شود یک روش چند گامی به صورت زیر است:
که در اینجا مانند قبل به جای است. همچنین همه مقادیر قبلی دقیق هستند و داریم به ازای
در اینجا جواب واقعی است. و خطای برشی موضعی که ناشی از مدلسازی دیفرانسیل توسط یک معادله تفاضلی است برابر می باشد. در این خطا، هنگامی خطای گرد کردن در نظر گرفته نمی شود. فرض می کنیم که با دقت کامل از معادله تفاضلی (1) محاسبه شده باشد حال می خواهیم ثابت کنیم که اگر روش دارای مرتبه باشد آنگاه خطای برشی موضعی خواهد بود. حال قید و شرطهایی که تحلیل ما لازم دارد به صورت قضیه بیان می کنیم.
قضیه: اگر روش چند گامی (1) از مرتبه باشد، اگر و اگر پیوسته باشد آنگاه فرضهای قبل را در نظر می گیریم و بنابراین داریم:
